欧拉公式怎么将三角函数变为指数 三角函数怎么化为指数

本文目录

1. 欧拉公式怎么将三角函数变为指数
2. 三角函数怎么化为指数
3. 三角函数指数如何表示
4. 指数形式化为三角形式

一、欧拉公式怎么将三角函数变为指数

1、高等代数中使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：

2、sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

3、泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

4、假设生产函数为：Q=f(L.K)(即Q为齐次生产函数),定义人均资本k=K/L

5、方法1:根据齐次生产函数中不同类型的生产函数进行分类讨论

6、k为人均资本，Q/L为人均产量，人均产量是人均资本k的函数。

7、∂Q/∂L=∂[L*g(k)]/∂L=g(k)+L*[dg(k)/dk]*[dk/dL]=g(k)+L*g’(k)*(-K/)=g(k)-k*g’(k)

8、∂Q/∂K=∂[L*g(k)]/∂K=L*[∂g(k)/∂k]=L*[dg(k)/dk]*[∂k/∂K]=L*g’(k)*(1/L)=g’(k)

9、由上面两式，即可得欧拉分配定理：

10、L*[∂Q/∂L]+K*[∂Q/∂K]=L*[g(k)-k*g’(k)]+K*g’(k)=L*g(k)-K*g’(k)+K*g’(k)=L*g(k)=Q

二、三角函数怎么化为指数

1、高等代数中使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：

2、sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

3、cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]

4、泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

5、两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

6、( 1)当 R= 2时，由说明 1,这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。

7、( 2)设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立。

8、由说明 2，我们在 R= m+ 1的地图上任选一个区域 X,则 X必有与它如此相邻的区域 Y，使得在去掉 X和 Y之间的唯一一条边界后，地图上只有 m个区域了；在去掉 X和 Y之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是 3条或 3条以上边界的顶点，则该顶点保留，同时其他的边界数不变。

9、若原该边界一端或两端的顶点现在成为 2条边界的顶点，则去掉该顶点,该顶点两边的两条边界便成为一条边界。于是,在去掉 X和 Y之间的唯一一条边界时只有三种情况：

10、②减少一个区域、一个顶点和两条边界；

11、③减少一个区域、两个顶点和三条边界；

12、即在去掉 X和 Y之间的边界时,不论何种情况都必定有“减少的区域数+减少的顶点数=减少的边界数”我们将上述过程反过来(即将 X和 Y之间去掉的边界又照原样画上)，就又成为 R= m+ 1的地图了，在这一过程中必然是“增加的区域数+增加的顶点数=增加的边界数”。

13、因此，若 R= m(m≥2)时欧拉定理成立，则 R= m+ 1时欧拉定理也成立.。

三、三角函数指数如何表示

1、高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

2、sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

3、泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

4、在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes首先给出证明，后来 Euler(欧拉)于 1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为 Descartes定理。

四、指数形式化为三角形式

1.指数形式化为三角形式即：exp(iθ)=cosθ+isinθ。

2.C语言中在库函数里的指数形式：其数值部分是一个小数，小数点前的数字是零，小数点后的第一位数字不是零。一个实数可以有多种指数表示形式，但只有一种属于标准化指数形式。一个实数在用指数形式输出时，是按规范化的指数形式输出的。例如，指定实数5689.65按指数形式（%e格式）输出，输出的形式只能是5.68965e+003，而不会是0.568965e+004或56.8965e+002。因此指数形式化为三角形式即：exp(iθ)=cosθ+isinθ。

3.复数三角形式的运算法则：引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。

1）复数的乘法：两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加，这个运算在几何上可以用下面的方法进行：将向量的模扩大为原来的倍，然后再将它绕原点逆时针旋转角，就得到。

2）复数的除法：两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减，这个运算在几何上可以用下面的方法进行：将向量的模缩小为原来的分之一，然后再将它绕原点顺时针旋转角，就得到。

3）复数的开方：相邻两个根之间幅角相差，所以复数的个次方根均匀地分布在以原点为圆心，以它的模的次算术根为半径的圆周上。因此，求一个复数z的全部n次方根，先作出圆心在原点，半径为的圆，然后作出角的终边，以这条终边与圆的交点为分点，将圆周等分，那么每个等分点对应的复数就是复数的次方根。

指数是幂运算a_(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数，a_表示n个a连乘。当n=0时，a_=1。

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